Биссектрисы смежных углов А и В параллелограмма АВСD пересекают стороны ВС

Знаменито, что биссектриса угла параллелограмма отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник.

Означает, треугольники АВN и АВМ равнобедренные.

Из треугольника ABN стороны АВ = AN, так как угол ABN = ANB.

Означает, AB = 8 м.

Из треугольника ABM стороны АВ = ВМ, так как угол BAM = BMA.

Означает, BM = 8 м.

В параллелограмме обратные стороны параллельны и одинаковы.

Значит, ВС = AD, AB = CD = 8 м.

BC = BM + MC = 8 + 3 = 11 м.

Тогда, периметр параллелограмма равен Р = 2 * (AB + BC) = 2 * (8 + 11) = 38 м.

Осмотрим треугольник АВМ

• Угол ВМА равен углу МАД (внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и АД и секущей АМ);
• Угол МАД равен углу МАВ (так как АС - биссектриса угла А);
• Следственно, угол ВМА равен углу МАВ, значит, треугольник АМВ равнобедренный (у равнобедренного треугольника углы при основании одинаковы).
• Это означает, что АВ = ВМ.

Осмотрим треугольники ВОМ и АОN

(О - точка пересечения АМ и ВN)

1. угол МВО равен углу АNО (внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и АД и секущей ВN);
2. угол ВМО равен углу NАО (внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и АД и секущей АМ);
3. угол ВОМ равен углу АОД (вертикальные углы);
4. Как следует, треугольник ВОМ равен треугольнику АОN по трем углам.

Из равенства треугольников следует, что ВМ = AN = 8м (по условию).

ВС = ВМ + МС = 8 + 3 = 11 (м)

АД = ВС = 11 (м), так как у параллелограмма обратные стороны равны.

АВ = ВМ = 8 (м) (см. выше)

СД = АВ = 8 (м) (обратные стороны параллелограмма)

Обретаем периметр параллелограмма

Р = ВС + АД + АВ + СД = 11 + 11 + 8 + 8 = 38 (м)