Елена возвела естественное число N в квадрат и сложила количество цифр

AРассмотрим результаты, которые могли получиться у Елены, если бы она проводила вычисления с цифрами (1, 2, ...,9).

Квадраты цифр могут быть с одним знаком либо двузначными числами. Значит, Елена получила бы в итоге 1 + 1 или 1 + 2 цифр, т.е. 2 или 3.

Если бы она проводила вычисления с двузначными числами

(10, 11, ...,98, 99), то возводя их в квадрат, количество цифр было бы 3 либо 4. Тогда в сумме она получила бы 2 + 3 либо 2 + 4, т.е. 5 либо 6.

Сейчас осмотрим общий случай. Пусть в числе N символов. Его можно записать так:

10^(N - 1) * k1 + 10^(N - 2) * k2 + ... + 10 * (kN-1) + kN.

При строительстве в квадрат этого числа, получаем число большее, чем    10^(2 * (N - 1)) и наименьшее, чем 10^(2 * (N - 1) + 1). Означает, что число цифр будет 2 * (N - 1) или 2 * N - 1. И в сумме это даёт:

2 * (N - 1) + N либо 2 * N - 1 + N, т.е. 3 * N - 2 либо 3 * N - 1.