Для функции y=3/(2x+3)^4 найдите ту первообразную, график которой проходит через точку

Нам задана функция уравнением y = 3/(2x + 3)^4 необходимо отыскать первообразную, график которой проходит через точку с координатами А (- 1; 1,5).

Составим план решения задачки

• найдем общий вид первообразной для данной функции;
• подставляем в первообразную заместо х и у координаты точки А;
• решаем приобретенное уравнение относительно переменной с;
• записываем первообразную, проходящую через точку А.

Интегрируем функцию у = 3/(2x + 3)^4

Для того, чтобы найти общий вид первообразной заданной функции проинтегрируем функцию.

3/(2x + 3)^4dx = 31/(2x + 3)^4dx;

введем подмену, пусть u = 2x + 3 и du = 2dx.

31/(2x + 3)^4dx = 3/21/u^4du = - 1/(2u^3) + C.

Возвращаемся к введенной ранее подмене.

- 1/(2u^3) + C = - 1/(2(2х + 3)^3) + C.

Найдем значение переменной С

Для того, чтобы отыскать ту первообразную, график которой проходит через точку А (- 1; 1,5) подставим в первообразную заместо х = - 1 и у = 1,5 и решим приобретенное уравнение относительно переменной с.

Y(x) = - 1/(2(2х + 3)^3) + C;

1.5 = - 1/(2(2 * (- 1) + 3)^3) + C;

1.5 = - 1/2 + C.

Перенесем в правую часть приобретенного уравнения слагаемые без переменной, а в левую слагаемые с переменной С.

Когда переносим слагаемые из левой части уравнения в правую либо напротив меняем символ слагаемого на обратный.

- С = - 1/2 - 1,5;

- С = - 0,5 - 1,5;

- С = - 2;

Избавимся от минуса перед переменной, для этого умножим на - 1 обе части уравнения.

С = 2.

Подставим найденное значение С = 2 в первообразную и получим функцию график которой проходит через точку А(- 1; 1,5).

Y(x) = - 1/(2(2x + 3)^3) + 2.

Ответ: Y(x) = - 1/(2(2x + 3)^3) + 2.

Первообразная данной функции будет иметь вид:

F = (3/(2x+3)^4) * dx + C, где C - константа.

Произведем замену t = 2x + 3, тогда dt = 2 * dx:

F = (3 / 2 * t^4) * dt + C = 3/2 * (-1/4) * t^(-5) + C =(-3/8) * t^(-3) +C.

Подставим координаты точки А в уравнение первообразной и найдем С.

(-3/8) / (-1)^3 + С = 3/2

С = 3/2 - 3/8 = 12/8 -3/8 = 9/8

Ответ: F = (-3/8) * t^(-3)+ 9/8.