Дан правильный тетраэдр ABCD. Через каждое его ребро и середину обратного

Пусть основание тетраэдра будет АВС, а верхушка - Д. Все грани тетраэдра - правильные треугольники, так как АВСД - верный тетраэдр.

Проведем первое сечение тетраэдра

• Обозначим середину ребра ДС точкой М.
• Проведем сечение через ребро АВ и точку М (середину ребра ДС).
• Сечением будет равносторонний треугольник (АМ = ВМ - медианы одинаковых треугольников).
• Данный треугольник разделяет весь тетраэдр на две части, при этом объемы этих долей одинаковы, так как АМ и ВМ - перпендикуляры к стороне ДС (медиана в равнобедренном треугольнике является и вышиной).

Проведем другие 5 сечений тетраэдра

Всего у тетраэдра 6 ребер: АВ, ВС, АС, ДВ, ДС и ДА. И через каждое ребро необходимо провести сечение. Первое сечение (через АВ) мы провели, остается провести еще 5 сечений.

Проводим сечение, проходящее через ребро ВС и середину ребра АД. Данное сечение разделит каждую из двух частей тетраэдра еще на две доли, получилось четыре доли тетраэдра.

Проведем еще сечение - через ребро АС и середину ребра ДВ, оно разделит каждую часть тетраэдра еще на две доли - получится восемь частей.

Последующее сечение через ребро ДВ и середину АС разделяет каждую из 8 частей еще на две доли. Получится 16 частей.

Проводим сечение через ребро ДС и середину АВ, получится 32 доли.

Осталось провести сечение через ребро ДА и середину ВС - получится 64 доли тетраэдра.

Ответ: на 64 доли.