В треугольнике АВС сторона АВ=5 см. , угол С=30, угол В=45.

1) Находим угол А исходя из аксиомы о сумме углов треугольника: сумма всех углов треугольника одинакова 180 градусам -

угол А = 180 - 45 - 30 = 105 градусов.

2) Из угла А проводим перпендикуляр АК к стороне ВС. Угол АКВ = АКС = 90 градусов. Тогда по аксиоме о сумме углов треугольника обретаем углы ВАК и САК:

ВАК = 180 - 45 - 90 = 45 градусов = треугольник ВАК является равнобедренным;

САК = 180 - 30 - 90 = 60 градусов.

3) Найдём значение АК. Так как ВАК является равнобедренным прямоугольным треугольником в гипотенузой, одинаковой 5 см, то ВК = АК, sin(ВАК) = cos(ВАК) = 1/2^(-1/2). Как следует:

АК : 5 = 2^(-1/2);

АК = 5* 2^(-1/2) = 5/2^(1/2) = ВК.

4) Так как катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, то

АС = 2 * 5/2^(1/2) = 5*2^(1/2).

5) Обретаем СК через cos(30):

СК/AK = 3^(1/2) / 2;

CK = AK * 3^(1/2) / 2 = 5*2^(1/2) * 3^(1/2)/2 = 5* (3/2)^(1/2).

5) Обретаем сторону ВС:

ВС = ВК + СК = 5*2^(-1/2) + 5* (3/2)^(1/2) = 5 * (3^(1/2) +1) /2^(1/2).

Ответ: угол С = 105 градусов, сторона ВС = 5 * (3^(1/2) +1) /2^(1/2), сторона АС = 5*2^(1/2).

Для того, чтоб решить треугольник, то есть вычислить все его стороны необходимо выполнить дополнительное построение: опустить из верхушки А перпендикуляр АК к стороне ВС. Отрезок  АК называется вышиной треугольника АВС.

Треугольник АКВ

Приобретенный треугольник АКВ является прямоугольным (АК - высота) и равнобедренным (угол АВК равен 45 градусов, означает угол ВАК равен 180 - 90 - 45 = 45 градусов; углы при основании равны, означает и стороны АК = ВК). По условию АВ = 5 см.

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, что в данном случае значит АВ^2 = АК^2 + ВК^2 либо АВ^2 = 2АК^2.

Тогда:

• АК^2 = 1/2 АВ^2;
• АК^2 = 1/2 5^2;
• АК = 5 (1/2)^(1/ 2) см.

Треугольник АКС

Треугольник АКС тоже - прямоугольный (АК - вышина). Угол АСК = 30 градусов.

Знаменито, что в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы (sin 30 градусов = 1/2 = противолежащий катет / гипотенуза). Значит, гипотенуза АС = 2АК = 2 * 5 (1/2)^(1/2)  = 10 (1/2)^(1/2) см.

По теореме Пифагора СК^2 = АС^2 - АК^2.

 СК^2 = (10 (1/2)^(1/ 2))^2 - (5 (1/2)^(1/ 2))^2 = 100 * 1/2 - 25 * 1/2 = 75 * 1/2.

СК = (75 * 1/2)^(1/ 2)= 5 (3/2)^(1/ 2) см.

Треугольник АВС

АВ = 5 см (по условию).

АС = 10 (1/2)^(1/ 2) см (из треугольника АКС).

ВС = ВК + СК = 5 (1/2)^(1/ 2) + 5 (3/2)^(1/ 2)  = 5 * ((1/2)^(1/ 2) + (3/2)^(1/ 2)) см.

Ответ: стороны треугольника АВС одинаковы:

• АВ = 5 см;
• АС = 10 (1/2)^(1/ 2) см;
• ВС = 5 * ((1/2)^(1/ 2) + (3/2)^(1/ 2)) см.