В треугольнике ABC угол C в 2 раза больше угла B,

Рассмотрим треугольник АВС: 1. Соединим точки D и М. Получим, что DM - вышина, медиана и биссектриса треугольника DBC , так как этот треугольник равнобедренный (угол DCB = углу DMH = 30) =gt; AD = DM =gt; DH перпендикулярна АМ. 2. Т.к, МА совпадает с МН, так как из одной точки (М) можно провести к одной прямой (DC) только один перпендикуляр. Значит точки А,Н и М лежат на одной прямой. Что и требовалось обосновать.

Осмотрим треугольники СДМ и ВДМ

• В треугольнике СДВ угол С равен углу В (по условию, угол В в два раза меньше угла С треугольника АВС, а СД биссектриса);
• Означает, треугольник СДВ равнобедренный, как следует сторона СД = ВД;
• ДМ является биссектрисой и вышиной в равнобедренном треугольнике СДВ (М - середина стороны ВС, СМ = ВМ по условию);
• Значит, треугольник СДМ и ВДМ равны (по трем сторонам: СД = ВД, СМ = ВМ, ДМ общая сторона).

В прямоугольных треугольниках СДМ и ВДМ равны высота МН и отрезок МК. Отсюда делаем вывод, что МК-перпендикуляр к стороне АВ, и угол AKH = углу KHD =30 (так как треугольник НКМ равносторонний по условию, углы у равностороннего треугольника равны 60, 90 - 60 = 30).

Осмотрим треугольник АНК

В треугольнике АНК угол А равен 30 (180 - (30 + (30+ 90)) = 30).
Треугольник HDK - равнобедренный, так как DK = DH, угол НДМ равен 120 : 2 = 60, означает в треугольнике ДМН угол DMH = 30 (180 - 60 - 90 = 30).

Отсюда следует, что AD = DМ, а  DH перпендикулярна АМ.

Следовательно, прямая МА совпадает с отрезком МН, так как из одной точки (М) можно провести к одной прямой (DC) только один перпендикуляр. Означает точки А, Н и М лежат на одной прямой.
Что и требовалось доказать.