обосновать что для хоть какого числа t производится неравенство t^4-t+1/2amp;gt;0

Рассмотрим функцию y = t^4 - t + 1, найдем ее производную:

y = (t^4 - t + 1) = 4x^3 - 1.

Приравняем ее к 0:

4x^3 - 1 = 0;

x = (1/4)^(1/3).

Точка x0 =  (1/4)^(1/3) является точкой минимума, найдем значение функции в этой точке:

y((1/4)^(1/3)) = (1/4)^(4/3) + 1 - (1/4)^(1/3) gt; 0.

Так как ордината точки минимума положительна, то y(t) = t^4 - t + 1 gt; 0 при любых t, что и требовалось обосновать.