Обоснуйте,что при любом n выражение (4n+1)^2 - (3n-1)^2 делится на 7

Чтобы некоторая сумма (а данное выражение является суммой) делалась на 7, надо чтобы каждое ее слагаемое делилось на 7. Для начала раскроем квадраты суммы и разности:

(4n+1)^2 - (3n-1)^2 = 16n^2 + 8n + 1 (9n^2 6n + 1) = 16n^2 + 8n + 1 9n^2 + 6n 1;

Сейчас приведем подобные слагаемые:

16n^2 + 8n + 1 9n^2 + 6n 1 = 7n^2 + 14n;

Сейчас каждое слагаемое в сумме делится на 7, а значит, и вся сумма делится на 7, не зависимо от n.

Чтоб показать это еще более очевидно, можно вынести 7 в качестве множителя за скобку:

7n^2 + 14n = 7 * (n^2 + 14).