Используя наиболее удобный метод вычислений , найдите значение выражения: 2/1*3+2/3*5+2/5*7+...2/99*101

Покажем, что для хоть какого целого числа n имеет место следующее соотношение:

1 / n - 1 / (n + 2) = 2 / (n * (n + 2)).

Преобразуем левую часть данного соотношения, приведя дроби 1 / n и 1 / (n + 2) к общему знаменателю:

1 / n - 1 / (n + 2) = (n + 2) / (n * (n + 2)) - n / (n * (n + 2))  = (n + 2 - n) / (n * (n + 2)) = 2 / (n * (n + 2)).

Используя доказанное тождество, преобразуем данную сумму 2 / (1 * 3) + 2 / (3 * 5) + 2 / (5 * 7) + ... + 2 / (99 * 101) к последующему виду: 

2 / (1 * 3) + 2 / (3 * 5) + 2 / (5 * 7) + ... + 2 / (99 * 101) = 1/1 - 1/3 + 1/3 - 1/5 + 1/5 - 1/7 + ... +1/97 - 1/99 + 1/99 - 1/101 = 1/1 - 1/101 = 101/101 - 1/101 = 100/101.

Ответ: 2 / (1 * 3) + 2 / (3 * 5) + 2 / (5 * 7) + ... + 2 / (99 * 101) = 100/101.