Существует ли такое естественное число, что сумма его цифр делится на

   1. Пусть функция N(n) выражает сумму цифр естественного числа n.

   2. Если число n не заканчивается на цифру 9, то при прибавлении единицы к этому числу не будет перехода через разряд, как следует, для таких чисел:

      N(n + 1) = N(n) + 1.

   3. Если же последние k числа числа n - девятки, то при прибавлении единицы к этому числу получим:

      N(n + 1) = N(n) - 9k + 1;

      N(n) - N(n + 1) = 9k - 1. (1)

   4. По условию задачки:

      N(n) = 13p, p N;

      N(n + 1) = 13q, q N.

   Отсюда получим:

      N(n) - N(n + 1) = 13(p - q); (2)

   5. Из уравнений (1) и (2) следует:

      13(p - q) = 9k - 1; (3)

   9k - 1 делится на 13, а меньшее значение k - число 3:

      9 * 3 - 1 = 26.

   6. Меньшее число, удовлетворяющее условию задачки:

• n = 48999; N(n) = 4 + 8 + 3 * 9 = 39;
• n + 1 = 49000; N(n + 1) = 4 + 9 = 13.

   Ответ. Меньшее сходственное число: 48999.