Решите уравнения: 1)4cos^2x-1=0 2)2sin^2x-5cosx+1=0 3)1+2sin2x+2cos^2x=0

1). 4cos^2 x 1 = 0;

4cos^2 x = 1;

cos^2 x = 1/4;

cos x = 1/4;

cos x = 1/2;

x = arcos ( 1/2) + 2Пn, n Z;

x1 = П/3 + 2Пn, n Z;

x2 = 2П/3 + 2Пn, n Z;

Ответ. П/3 + 2Пn, n Z; 2П/3 + 2Пn, n Z;

2) 2sin^2 x - 5cos x + 1 = 0 заменим sin^2 x на (1 cos^2 x);

2(1 cos^2 x) 5cos x + 1 = 0;

2 2cos^2 x 5cos x + 1 = 0;

- 2cos^2 x 5cos x + 3 = 0;

введем новейшую переменную cos x = y;

- 2y^2 5y + 3 = 0;

2y^2 + 5y 3 = 0;

D = b^2 4ac;

D = 5^2 4 * 2 * (- 3) = 25 + 24 = 49; D = 7;

x = (- b D)/(2a);

y1 = (- 5 + 7)/4 = 2/4 = 1/2;

y2 = (- 5 7)/4 = - 12/4 = - 3.

Выполним оборотную подстановку:

1. cos x = 1/2;

x = arcos (1/2) + 2Пn, n Z;

x1 = П/3 + 2Пn, n Z;

2. cos x = - 3 область значений функции косинуса [- 1; 1], число 3 не принадлежит этому интервалу, поэтому уравнение не имеет корней.

Ответ. П/3 + 2Пn, n Z;

3) 1 + 2sin 2x + 2cos^2 x = 0 преобразуем sin 2x = 2 sin x * cos x; 1 = sin^2 x + cos^2 x;

sin^2 x + cos^2 x + 2 * 2 sin x * cos x + 2 cos^2 x = 0;

sin^2 x + 4sin x * cos x + 3 cos^2 x = 0 : cos^2 x;

tg^2 x + 4 tg x + 3 = 0;

введем новую переменную tg x = y;

y^2 + 4y + 3 = 0;

D = 4^2 4 * 1 * 3 = 16 12 = 4; D = 2;

y1 = (- 4 + 2)/2 = - 2/2 = - 1;

y2 = (- 4 2)/2 = - 6/2 = - 3.

Выполним оборотную подстановку:

1. tg x = - 1;

x = - П/4 + Пk, k Z;

2. tg x = - 3;

x = arctg (- 3) + Пk, k Z.

Ответ. - П/4 + Пk, k Z; arctg (- 3) + Пk, k Z.