Сторона основания правильной треугольной пирамиды одинакова 6, а вышина пирамиды одинакова

Пусть МАВС - данная пирамида (АВС - основание), АВ = ВС = АС = 6, высота МО = 3.

Проведем вышину основания СН, точка О будет лежать на этой вышине (так как СН - вышина в равностороннем треугольнике).

Треугольник АСН - прямоугольный, по аксиоме Пифагора:

СН = АС - АН, АН = 1/2АВ (так как высота в равностороннем треугольнике является и медианой).

СН = 6 - 3 = 36 - 9 = 27.

СН = 27 = 33.

СО относится к ОН как 2 : 1 (СО - радиус описанной окружности правильного треугольника, ОН - радиус вписанной окружности).

Означает, СО = 2/3СН = 2/3 * 33 = 23.

Треугольник МОС - прямоугольный. МО - вышина пирамиды, МО = 3, СО = 23, вычислим длину ребра пирамиды по аксиоме Пифагора:

МС = МО + СО = 3 + (23) = 9 + 12 = 21.

МС = 21.

МН - вышина в равнобедренном треугольнике АМВ, по теореме Пифагора:

МН = МА - АН = (21) - 3 = 21 - 9 = 12.

МН = 12 = 23.

В треугольнике МНО: угол О равен 90, НО = 1/3СН = 1/3 * 33 = 3. МН = 23.

Угол МНО - разыскиваемый угол между боковой гранью пирамиды и основанием, найдем его косинус:

ОН/МН = 3/23 = 1/2.

Ответ: косинус угла между боковой гранью и основанием пирамиды равен 1/2.