Разность оснований равнобедренной трапеции одинакова 14 см, а диагональ является биссектрисой

http://bit.ly/2hzwosV

Дано: АВ = CD, так как трапеция АВСD - равнобедренная;

Равсд = 86 см,

АD (b) - BC (a) = 14 см.

Отыскать: Sabcd = ?

Решение:

1)  

Перед решением необходимо сделать набросок трапеции.

Введем обозначения. Пусть АВСД - трапеция, АД и ВС - основания трапеции, АВ = СД. СА - биссектриса тупого угла С. АД - ВС = 14 см, Р_авсд = 86 см.

Найти: S_авсд - ?

Сведения для решения данной задачи

• У трапеции основания параллельны;
• Внутренние накрест лежащие углы равны;
• У равнобедренного треугольника углы при основании одинаковы;
• Периметр - это сумма длин всех сторон;
• Аксиома Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов;
• Биссектриса угла разделяет угол на два одинаковых угла;
• Вышины трапеции отсекают от большего основания одинаковые доли.

Обозначим меньшее основание ВС за х, тогда основание АД будет равно (х + 14).

В трапеции АВСД угол ВСА = углу САД (внутренние накрест лежащие углы при параллельных АД и ВС и секущей АС). Так как угол ВСА = АСД (СА - биссектриса), означает угол АСД = углу САД. Отсюда следует, что треугольник АСД равнобедренный, а означает, СД = АД = (х + 14).

Тогда периметр трапеции равен х + (х + 14) + (х + 14) + (х + 14) = 86

Решаем это уравнение.

4х + 42 = 86

4х = 86 - 42

4х = 44

х = 11 (см) это наименьшее основание трапеции ВС.

11 + 14 = 25 (см) это основание АД.

Проведем вышину СН

Рассмотрим треугольник СДН:

угол Н = 90 градусов (СН - вышина), значит треугольник СДН прямоугольный,

СД = АД = 25 см.

ДН = (25 - 11) : 2 = 7 см.

По аксиоме Пифагора: СД² = СН² + ДН²

Отсюда: СН² = СД² - ДН² 

СН² = 25² - 7² = 625 - 49 = 576

СН = 24 (см)

Найдем площадь трапеции

Площадь трапеции находится по формуле

S = (a + b)/2 * h, где S - площадь трапеции, a и b - основания, h - высота трапеции.

Основания трапеции одинаковы 11 и 25 см, вышина одинакова 24 см. Подставим значения и найдем площадь.

S = (11 + 25)/2 * 24 = 36/2 * 24 = 18 * 24 = 432 см².

Ответ: площадь трапеции равна 432 см².