2x^2-8x+6+4x-x^2-3

Разложим квадратные трехчлены под корнем на множители по формуле ax^2 + bx + c = (x - x₁)(x - x₂), где x₁ и x₂ - это корни квадратного трехчлена.

1) 2x^2 - 8x + 6.

a = 2; b = -8; c = 6;

D = b^2 - 4ac; D = (-8)^2 - 4 * 2 * 6 = 64 - 48 = 16 (D = 4);

x = (-b D)/2a;

х₁ = (8 - 4)/(2 * 2) = 4/4 = 1.

х₂ = (8 + 4)/4 = 12/4 = 3.

 2x^2 - 8x + 6 = (х - 1)(х - 3).

2) 4x - x^2 - 3 = -x^2 + 4х - 3.

a = -1; b = 4; c = -3;

D = b^2 - 4ac; D = 4^2 - 4 * (-1) * (-3) = 16 - 12 = 4 (D = 2);

x = (-b D)/2a;

х₁ = (-4 - 2)/(2 * (-1)) = (-6)/(-2) = 3.

х₂ = (-4 + 2)/(-2) = -2/(-2) = 1.

4x - x^2 - 3 = (х - 3)(х - 1).

3) Возведем в квадрат обе доли неравенства, чтобы избавиться от квадратных корней.

((2x^2 - 8x + 6) + (4x - x^2 - 3))^2 lt; (x - 1)^2.

Раскрываем скобки по формулам сокращенного умножения.

((2x^2 - 8x + 6))^2 + 2(2x^2 - 8x + 6)(4x - x^2 - 3) + ((4x - x^2 - 3))^2 lt; x^2 - 2x + 1.

2x^2 - 8x + 6 + 2(х - 1)(х - 3)(х - 3)(х - 1) + 4x - x^2 - 3 lt; x^2 - 2x + 1;

x^2 - 4х + 3 + 2((х - 1)^2(х - 3)^2) - x^2 + 2x - 1 lt; 0;

2(х - 1)(х - 3) - 2х + 2 lt; 0;

2(х^2 - х - 3х + 3) - 2х + 2 lt; 0;

2х^2 - 8х + 6 - 2х + 2 lt; 0;

2х^2 - 10х + 8 lt; 0.

Делим уравнение на 2:

х^2 - 5х + 4 lt; 0.

Осмотрим функцию у = х^2 - 5х + 4, это квадратичная парабола, ветки вверх.

Найдем нули функции: у = 0; х^2 - 5х + 4 = 0.

Подберем корешки квадратного уравнения с поддержкою аксиомы Виета: х₁ + х₂ = 5; х₁ * х₂ = 4.

Так как 1 + 4 = 5 и 1 * 4 = 4, то корешки уравнения равны 1 и 4.

Отмечаем на числовой прямой точки 1 и 4, схематически живописуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет символ lt; 0, означает решением неравенства будет просвет, где парабола находится ниже прямой, то есть (1; 4).

Ответ: х принадлежит промежутку (1; 4).