Решите уравнение (x^2-2x+1)^2=1

(х - 2 * х + 1) = 1.

Так как содержимое скобок в левой части уравнения в квадрате одинаково 1, то получаем два уравнения:

х - 2 * х + 1 = 1 или х - 2 * х + 1 = -1.

Решим первое уравнение:

х - 2 * х + 1 - 1 = 0,

х - 2 * х = 0,

х * (х - 2) = 0.

Данное уравнение имеет два решения х = 0 и х = 2.

Решим второе уравнение:

х - 2 * х + 1 = -1,

х - 2 * х + 2 = 0.

Найдём дискриминант этого квадратного уравнения:

D = (-2) - 4 * 1 * 2 = 4 - 8 = - 4.

Так как дискриминант отрицательное число, то уравнение решений не имеет.

Таким образом начальное уравнение имеет два решения: х = 0 и х = 2.

  Метод выделения квадрата двучлена

   a) Выражение в скобках является полным квадратом бинома:

• (x^2 - 2x + 1)^2 = 1;
• ((x - 1)^2)^2 = 1.

   b) При строительстве ступени в ступень, характеристики умножаем, а основание оставляем без конфигурации:

      (a^m)^n = a^(mn);

• (x - 1)^(2 * 2) = 1;
• (x - 1)^4 = 1. (1)

   c) Уравнение (1) имеет два решения:

   1) x - 1 = -1;

• x = 1 - 1;
• x = 0;

   2) x - 1 = 1;

• x = 1 + 1;
• x = 2.

  Метод разложения на множители

   a) Разложим на множители, используя формулу для разности квадратов 2-ух выражений:

      a^2 - b^2 = (a + b)(a - b);

• (x^2 - 2x + 1)^2 = 1;
• (x^2 - 2x + 1)^2 - 1^2 = 0;
• (x^2 - 2x + 1 + 1)(x^2 - 2x + 1 - 1) = 0;
• (x^2 - 2x + 2)(x^2 - 2x) = 0.

   b) Приравняем каждый из множителей к нулю:

      [x^2 - 2x + 2 = 0;
      [x^2 - 2x = 0.

   c) Решим уравнения отдельно:

   1) x^2 - 2x + 2 = 0. (2)

      D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 2 = 4 - 8 = -4 lt; 0.

   Дискриминант меньше нуля, как следует, уравнение (2) не имеет решения.

   2) x^2 - 2x = 0.

      x(x - 2) = 0;

• [x = 0;
  [x - 2 = 0;
• [x = 0;
  [x = 2.

   Ответ. Уравнение имеет два реальных корня: 0 и 2.