Покажите, что многочлен Х^8+Х^6-4Х^4+2Х^3+5 не имеет отрицательные значения.

Для того, чтобы доказать, что некий многочлен не имеет отрицательных значений, и как следствие всегда положительный, необходимо выделить в предложенном многочлене квадрат выражения, либо сумму нескольких квадратов выражений.

Пробуем выделить квадрат бинома с x^8, как (x^4)^2, но x^4 имеет коэффициент одинаковый 4, а это удвоенное творение 2 * 2, значит, второе число будет 2^2 = 4. Тогда получим 1-ый многочлен:

x^8 + x^6 - 4 * x^4 + 2 * x^3 + 5 =  (x^8 - 4 * x^4 + 4) + (x^6 + 2 * x^3 + 1).

1-ая скобка представляет собой квадрат разности чисел, и 2-ая скобка тоже квадрат суммы чисел.

(x^4 - 2)^2 + (x^3 + 1)^2, любая из скобок больше либо одинакова 0, означает и сумма 2-ух положительных выражений тоже больше либо равна 0.