Отыскать площадь фигуры ограниченной линиями y=-x^2+2x+3, y=0

Имеем две линии: y = -x^2 + 2x + 3 - парабола, ветки которой опущены вниз; у = 0 - горизонтальная ровная (ось абсцисс). Найдем верхушку параболы:

x = -b/2a = -2/(-2) = 1; y = -1 + 2 + 3 = 4.

Сейчас найдем точки скрещения 2-ух линий:

-x^2 + 2x + 3 = 0;

Найдем дискриминант:

D = 4 + 4*3 = 16;

x1 = (-2 + 4) / (-2) = -1;

x2 = (-2 - 4) / (-2) = 3.

Лицезреем, что пределы интегрирования одинаковы (-1) и 3, запишем интеграл:

(-x^2 + 2x + 3)dx = -x^3/3 + x^2 + 3x.

Подставив пределы интегрирования, найдем:

-9 + 9 + 9 - (1/3) - 1 + 3 = 32/3 кв. ед.

Ответ: 32/3 кв. ед.