Обоснуйте неравенство 4x^2-4xy+2y2+12y+37 больше 0

4х² - 4ху + 2у² + 12у + 37 gt; 0.

Осмотрим левую часть неравенства:

сгруппируем слагаемые

4х² - 4ху + 2у² + 12у + 37 = (4х² - 4ху + у²) + (у² + 12у + 37) = (2х у)² + (у² + 12у + 37).

(2х у)² gt; 0,  при всех х не считая у = 2х.

у² + 12у + 37 gt; 0, т.к. D = 144 4 * 37 = -4 lt; 0.

Тогда:

(2х у)² + (у² + 12у + 37) gt; 0 при всех х и у.

4х² - 4ху + 2у² + 12у + 37 gt; 0 при всех х и у.