Найдите все значения а,при каждом из которых меньшее значение функции f(x)=4ax+x^2-10x+21больше,

   1. Корешки квадратного трехчлена:

      f(x) = 4ax + x^2 - 10x + 21;

      x1 = 3; x2 = 7.

   2. При x [3; 7] получим:

• f(x) = 4ax - x^2 + 10x - 21;
• f(x) = -x^2 + 2(2a + 5)x - 21.

   Ветки параболы направлены вверх, наименьшее значение функция принимает на концах отрезка:

      f(x) = 4ax;

   a) f(3) = 12a gt; -42;

      a gt; -42/12 = -7/2 = -3,5;

   b) f(7) = 28a gt; -42;

      a gt; -42/28 = -3/2 = -1,5;

• a (-3,5; );
  a (-1,5; );
• a (-1,5; ).

   3. При x (-; 3) (7; ) получим:

• f(x) = 4ax + x^2 - 10x + 21;
• f(x) = x^2 + 2(2a - 5)x + 21;
• f(x) = (x + (2a - 5))^2 + 21 - (2a - 5)^2.

   Абсцисса верхушки параболы:

      x0 = -(2a - 5).

   a) x0 принадлежит интервалу [3; 7] при условии:

• 3 x0 7;
• 3 -(2a - 5) 7;
• -3 2a - 5 -7;
• -7 2a - 5 -3;
• -2 2a 2;
• -1 a 1;
• a [-1; 1].

   При этом условии верхушка параболы находится снутри отрезка, и функция меньшее значение принимает на границах. Так как [-1; 1] [-1,5; ], то a [-1; 1] удовлетворяет условию задачки.

   b) a (-1,5; -1) (1; ).

   Ордината верхушки параболы - наименьшее значение функции:

• ymin = 21 - (2a - 5)^2 gt; -42;
• (2a - 5)^2 lt; 63;
• 2a - 5 (-63; 63);
• 2a (5 - 63; 5 + 63);
• a (2,5 - 63/2; 2,5 + 63/2) (-1,47; 6,47).
• a (2,5 - 63/2; 2,5 + 63/2);
  a (-1,5; -1) (1; );
• a (2,5 - 63/2; -1) (1; 2,5 + 63/2).

   4. Соединение множеств:

• [a [-1; 1];
  [a (2,5 - 63/2; -1) (1; 2,5 + 63/2);
• a (2,5 - 63/2; 2,5 + 63/2).

   Ответ: (2,5 - 63/2; 2,5 + 63/2).