Решите неравенство: x^4-2x^3+x^2 деленное на x^2+x-2. отнять 2x^3+x^2+x-1 деленное на x+2

(x^4 - 2x^3 + x^2)/(x^2 + x - 2) - (2x^3 + x^2 + x - 1)/(x + 2) lt;= 1.

Вынесем x^2 в числителе первой дроби:

x^2(x^2 - 2х + 1)/(x^2 + x - 2) - (2x^3 + x^2 + x - 1)/(x + 2) lt;= 1.

Разложим на множители x^2 - 2х + 1: по теореме Виета х₁ + х₂ = 2; х₁ * х₂ = 1. Корешки равны 1 и 1. Выходит x^2 - 2х + 1 = (х - 1)^2.

Разложим на множители x^2 + x - 2: по аксиоме Виета х₁ + х₂ = -1; х₁ * х₂ = -2. Корешки одинаковы -2 и 1. Выходит x^2 + x - 2 = (х - 1)(х + 2).

Неравенство приобретает вид x^2(х - 1)^2/(х - 1)(х + 2) - (2x^3 + x^2 + x - 1)/(x + 2) lt;= 1.

Скобка (х - 1) сокращается, выходит x^2(х - 1)/(х + 2) - (2x^3 + x^2 + x - 1)/(x + 2) lt;= 1.

Приводим к общему знаменателю: (x^2(х - 1) - (2x^3 + x^2 + x - 1))/(x + 2) lt;= 1;

(x^3 - х^2 - 2x^3 - x^2 - x + 1)/(x + 2) lt;= 1;

(-x^3 - 2х^2 - x + 1)/(x + 2) lt;= 1.

Переносим 1 в левую часть и приводим к общему знаменателю:

(-x^3 - 2х^2 - x + 1)/(x + 2) - 1 lt;= 0;

(-x^3 - 2х^2 - x + 1 - х - 2)/(x + 2) lt;= 0;

(-x^3 - 2х^2 - 2x - 1)/(x + 2) lt;= 0.

Вынесем (-1) из числителя и умножим неравенство на (-1):

-(x^3 + 2х^2 + 2x + 1)/(x + 2) lt;= 0;

(x^3 + 2х^2 + 2x + 1)/(x + 2) gt;= 0.

Разложим знаменатель на множители:

x^3 + 2х^2 + 2x + 1 = (x^3 + 1) + (2х^2 + 2x) = (х + 1)(х^2 - х + 1) + 2х(х + 1) = (х + 1)(х^2 - х + 1 + 2х) = (х + 1)(х^2 + х + 1).

Выходит неравенство (х + 1)(х^2 + х + 1)/(x + 2) gt;= 0.

Решим неравенство способом интервалов:

Найдем корешки неравенства:

х + 1 = 0; х = -1.

х^2 + х + 1 = 0; D = 1 - 4 = -3 (нет корней).

х + 2 = 0; х = -2.

Расставляем знаки неравенства: (+) -2 (-) -1 (+).

Так как неравенство имеет символ gt;= 0, то решением неравенства будут промежутки (-; -2] и [-1; +).