(x^2+2x)^2-(x+1)^2=55

(x^2+2x)^2-(x+1)^2=55; (x^2+2x)^2-(x^2+2x+1)=55; t=x^2+2x; t^2-(t+1)=55; t^2-t-1-55=0; t^2-t-56=0; По теореме Виета: x1+x2=1; x1*x2=-56; x1=8 x2=-7; x^2+2x=8; x^2+2x-8=0; По теореме Виета: x1+x2=-2; x1*x2=-8; x1=2 x2=-4; x^2+2x=-7; x^2+2x+7=0; D=2^2-4*7=4-28=-24; Dlt;0 - нет решений; Ответ: 2; -4.

Преобразуем уравнение до квадратного уравнения

• Для этого вначале преобразуем скобку (x + 1) по формуле квадрата суммы.
• Формула квадрата суммы: (а + b) = a + 2ab + b.
• Следовательно, (x + 1) = х + 2х + 1.
• Выходит уравнение: (x + 2x) - (х + 2х + 1) = 55.

Как видно, выражение (х + 2х) повторяется в первой и 2-ой скобке.

Ввод новейшей переменной

Заменим выражение (х + 2х) другой буковкой, например, t.

Вышло уравнение t - (t + 1) = 55. Раскроем оставшуюся скобку: 

t - t - 1 = 55. 

t - t - 1 - 55 = 0.

t - t - 56 = 0.  

Получилось квадратное уравнение, которое решаем с поддержкою дискриминанта.

a = 1; b = -1; c = -56;

D = b - 4ac; D = (-1) - 4 * 1 * (-56) = 1 + 224 = 225 (D = 15);

x = (-b D)/2a;

t₁ = (1 - 15)/2 = -14/2 = -7.

t₂ = (1 + 15)/2 = 16/2 = 8.

Вернемся к подмене х + 2х = t.

1) t = -7; х + 2х = -7; х + 2х + 7 = 0.

Решаем новое квадратное уравнение с подмогою дискриминанта.

D = 4 - 28 = -24 (дискриминант вышел меньше нуля, следовательно - нет корней).

2) t = 8;  х + 2х = 8; х + 2х - 8 = 0.

D = 4 + 32 = 36 (D = 6);

х₁ = (-2 - 6)/2 = -8/2 = -4.

х₂ = (-2 + 6)/2 = 4/2 = 2.

Ответ: корни уравнения одинаковы -4 и 2.

Выполним проверку

(x + 2x) - (х + 1) = 55.

1) x = -4.

((-4) + 2 * (-4)) - (-4 + 1) = 55

(16 - 8) - (-3) = 55.

 8 - 9 = 55.

64 - 9 = 55 (правильно).

2) х = 2.

(2 + 2 * 2) - (2 + 1) = 55.

(4 + 4) - 3 = 55.

8 - 9 = 55.

64 - 9 = 55 (правильно).

1. Дано уравнение:
- (x + 1)^2 + (x^2 + 2 x)^2 = 55;
2. Преобразуем, вынесем общий множитель за скобки:
(x - 2) (x + 4) (x^2 + 2 x + 7) = 0;
Т.к. правая часть  равна нулю, то решение у уравнения будет, если желая бы один из множителей в левой доли будет равен нулю.
Получим уравнения:
x - 2 = 0;
x + 4 = 0;
x^2 + 2 x + 7 = 0;
Решаем получившиеся ур-ния:
1. x - 2 = 0;
Получим ответ: x1 = 2;
2. x + 4 = 0;
Получим ответ: x2 = -4;
3. x^2 + 2 x + 7 = 0;

Решаем при помощи дискриминанта.
a = 1;
b = 2;
c = 7;
, то D = b^2 - 4 * a * c = (2)^2 - 4 * (1) * (7) = -24;

Т.к. D lt; 0, то уравнение не имеет вещественных корней, но комплексные корешки имеются.
x3 = -1 + 6 i;
x4 = -1 - 6 i;
Тогда, конечный ответ:
x1 = 2;
x2 = -4;
x3 = -1 + 6 i;
x4 = -1 - 6 i.