Илья Муромец идёт вести войну с войском Шамаханской царицы. По дороге встречает

 Ответ: 100 отрядов ровно.

Объяснение.

 1-я голова разговаривает - больше 100 отрядов.

 2-я голова разговаривает - меньше 100 отрядов.

 3-я голова разговаривает - один ИЛИ больше отрядов.

 При этом ТОЛЬКО ОДНА голова разговаривает правду.

  1) Если правду говорит 1-я голова, что отрядов больше 100, то и 3-я голова тогда тоже разговаривает правду. А это противоречит условию.

 2) Если правду разговаривает 2-я голова, что отрядов меньше 100, то и 3-я голова тогда тоже разговаривает правду. А это противоречит условию. Исключение - в войске 0 отрядов. Но тогда и нет войска.

  3) Если правду разговаривает 3-я голова, то чтоб другие две головы врали, должно быть ровно 100 отрядов.

100 отрядов

Пояснение
Если правду произнесли первая либо вторая голова, то правду произнесла и третья, что не соответствует условию задачки. Ведь если отрядов больше 100, то утверждение, что есть желая бы один отряд, тоже будет верным. То же дотрагивается и утверждения, что отрядов меньше 100. Означает, утверждения первой и 2-ой голов не верны. Так как отрядов не больше 100, но и не меньше 100, можно сделать вывод, что их ровно 100.