2^x+3+2^x+2+2^x+1=7^x+7^x-1

Решим уравнение:

2^{x + 3} + 2^{x + 2} + 2^{x + 1} = 7^x + 7^{x 1}.

Рассмотрим левую часть: воспользуемся свойством ступеней a^x * b^x = (ab)^x и вынесем за скобки общий множитель 2^{х + 1}:

2^{x + 3} + 2^{x + 2} + 2^{x + 1} = 2^{x + 1} (2² + 2¹ + 1) = 2^{x + 1} (4 + 2 + 1) = 7 * 2^{x + 1}.

Осмотрим правую часть: воспользуемся свойством ступеней a^x * b^x = (ab)^x и вынесем за скобки общий множитель 7^{х - 1}:

7^x + 7^{x 1} = 7^{x 1} (7 + 1) = 8 * 7^{x 1} = 2³ * 7^{x 1}.

Подставим в начальное уравнение:

7 * 2^{x + 1} = 2³ * 7^{x 1},

Перенесем в левую часть множители с основанием 2, а в правую множители с основанием 7:

2^{x + 1} / 2³ = 7^{x 1} / 7,

2^{х + 1 - 3} = 7^{x 1 1},

2^{х - 2} = 7^{x 2},

перенесем все в левую часть:

2^{х - 2} /7^{x 2} = 1.

Воспользуемся свойством ступеней: а^с * b^c = (ab)^c:

(2/7)^{x 2} = 1,

(2/7)^{x 2} = (2/7)⁰.

Т.к. основания одинаковы, то и степени обязаны быть одинаковы:

х 2 = 0,

х = 2.

Ответ: 2.