Решите систему x^2=3x+4y y^2=4x+3y

x^2 = 3x + 4y; y^2 = 4x + 3y.

Перенесем все в левую часть у обоих уравнений:

x^2 - 3x - 4y = 0; y^2 - 4x - 3y = 0.

Оба уравнения равны нулю, означает, сами уравнения одинаковы:

x^2 - 3x - 4y = y^2 - 4x - 3y;

x^2 - 3x - 4y - y^2 + 4x + 3y = 0;

x^2 - y^2 + x - y = 0.

1-ые два одночлена разложим по формуле разности квадратов:

(х - у)(х + у) + (х - у) = 0.

Вынесем за скобку общий множитель (х - у):

(х - у)(х + у + 1) = 0.

Отсюда получаются два уравнения:

х - у = 0 и х + у + 1 = 0.

Соединяем эти уравнения с другим (см. выше), получаются две системы:

(1) х + у + 1 = 0; y^2 - 4x - 3y = 0.

(2) х - у = 0; y^2 - 4x - 3y = 0.

1) х + у + 1 = 0; y^2 - 4x - 3y = 0.

Выразим х из первого уравнения и подставим во 2-ое:

х = -1 - у.

y^2 - 4(-1 - у) - 3y = 0;

y^2 + 4 + 4у - 3y = 0;

y^2 + у + 4 = 0;

D = b^2 - 4ac = 1 - 16 = -15 (D lt; 0, нет корней).

2) х - у = 0; y^2 - 4x - 3y = 0.

Выразим х: х = у.

y^2 - 4у - 3y = 0;

y^2 - 7у = 0;

у(у - 7) = 0;

у₁ = 0; у₂ = 7.

Так как х = у, то х₁ = 0, х₂ = 7.

Ответ: (0; 0) и (7; 7).