Решительно уравнения: А) 4 cosx-3cosx-1=0. ( - в квадрате !) Б)

А) 4cos^2(x) - 3cos(x) - 1 = 0.

Введем новейшую переменную, пусть cos(x) = а.

Выходит уравнение 4а^2 - 3а - 1 = 0.

Решаем квадратное уравнение с подмогою дискриминанта:

a = 4; b = -3; c = -1;

D = b^2 - 4ac; D = (-3)^2 - 4 * 4 * (-1) = 9 + 16 = 25 (D = 5);

x = (-b D)/2a;

а₁ = (3 - 5)/(2 * 4) = -2/8 = -1/4.

а₂ = (3 + 5)/8 = 8/8 = 1.

Возвращаемся к замене cos(x) = а.

1) cos(x) = -1/4; х = arccos(-1/4) + 2Пn, n - целое число.

2) cos(x) = 1; х = 2Пn, n - целое число.

Б) 2cos^2(3x) = 3sin(3x).

2cos^2(3x) - 3sin(3x) = 0.

Представим cos^2(3x) как (1 - sin^2(3x)).

2(1 - sin^2(3x)) - 3sin(3x) = 0;

2 - 2sin^2(3x) - 3sin(3x) = 0;

-2sin^2(3x) - 3sin(3x) + 2 = 0; умножим на (-1):

2sin^2(3x) + 3sin(3x) - 2 = 0.

Введем новейшую переменную, пусть sin(3x) = а.

Выходит уравнение 2а^2 + 3а - 2 = 0.

D = b^2 - 4ac; D = 3^2 - 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 25 (D = 5);

а₁ = (-3 - 5)/(2 * 2) = -8/4 = -2.

а₂ = (-3 + 5)/4 = 2/4 = 1/2.

Возвращаемся к замене sin(3x) = а.

1) sin(3x) = -2 (не может быть, синус не может быть меньше -1).

2) sin(3x) = 1/2; 3х = П/6 + 2Пn, х = П/12 + 2/3Пn, n - целое число.

3х = 5П/6 + 2Пn, х = 5П/12 + 2/3Пn, n - целое число.

В) 8sinx + 5 = 2cos(2x).

8sinx + 5 - 2cos(2x) = 0.

Представим cos(2x) как (1 - 2sin^2x) по формуле двойного угла.

8sinx + 5 - 2(1 - 2sin^2x) = 0;

8sinx + 5 - 2 + 4sin^2x = 0;

4sin^2x + 8sinx + 3 = 0.

Введем новейшую переменную, пусть sinx = а.

Выходит уравнение 4а^2 + 8а + 3 = 0.

D = b^2 - 4ac; D = 8^2 - 4 * 4 * 3 = 64 - 48 = 16 (D = 4);

а₁ = (-8 - 4)/(2 * 4) = -12/8 = -1,5.

а₂ = (-8 + 4)/8 = -4/8 = -1/2.

Возвращаемся к подмене sinx = а.

1) sinx = -1,5 (не может быть, синус не может быть меньше -1).

2) sinx = -1/2; х = -П/6 + 2Пn, n - целое число.

х = -5П/6 + 2Пn, n - целое число.

Г) 2tgx + ctgx - 3 = 0.

Представим ctgx как 1/tgx (это обратные функции).

2tgx + 1/tgx - 3 = 0.

Введем новейшую переменную, пусть tgx = а.

Получается уравнение 2а + 1/а - 3 = 0.

Приведем к общему знаменателю:

(2а^2 - 3а + 1)/а =0.

ОДЗ: а не равно 0.

2а^2 - 3а + 1 =0.

D = b^2 - 4ac; D = (-3)^2 - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 =  (D = 1);

а₁ = (3 - 1)/(2 * 2) = 2/4 = 1/2.

а₂ = (3 + 1)/4 = 4/4 = 1.

Возвращаемся к подмене tgx = а.

1) tgx = 1/2; х = arctg(1/2) + Пn, n - целое число.

2) tgx = 1; х = П/4 + Пn, х = П/12 + 2/3Пn, n - целое число.