Решите неравенство 6x/x^2+5xx

6x/(x^2 + 5x) gt;= x. Перенесем х в левую часть и приведем к общему знаменателю:

6x/(x^2 + 5x) - x gt;=0;

(6х - х(x^2 + 5x))/(x^2 + 5x) gt;=0.

Раскроем скобки:

(6х - x^3 - 5x^2)/(x^2 + 5x) gt;=0;

(- x^3 - 5x^2 + 6х)/(x^2 + 5x) gt;=0;

вынесем в числителе (-х):

(-х(x^2 + 5x - 6))/(x^2 + 5x) gt;=0;

умножим на (-1):

(х(x^2 + 5x - 6))/(x^2 + 5x) lt;=0.

Разложим дробь на множители:

D = 25 + 24 = 49 (D = 7); х1 = (-5 + 7)/2 = 1; х2 = (-5 - 7)/2 = -6.

x^2 + 5x = х(х + 5).

(х(х -1)(х + 6))/(x(х + 5)) lt;=0.

Дробь меньше нуля, если числитель и знаменатель имеют различные знаки, получается две системы неравенств:

(1) х(х -1)(х + 6) lt;= 0; x(х + 5) gt; 0.

(2) х(х -1)(х + 6) gt;= 0; x(х + 5) lt; 0.

Решаем каждую систему раздельно (способом промежутков):

1) х(х -1)(х + 6) lt;= 0; 

x(х + 5) gt; 0.

Корешки первого неравенства одинаковы 0, 1 и -6. Расставляем на прямой, подписываем знаки каждого интервала: (-) -6 (+) 0 (-) 1 (+). Нам нужен знак (-), так как lt;= 0. Решением неравенства будут промежутки (-; -6] U [0; 1].

Корешки второго неравенства одинаковы 0 и -5. Расставляем знаки: (+) -5 (-) 0 (+). Нам нужен символ (+), так как gt; 0. Решением неравенства будут промежутки (-; -5) U (0; +).

Решением системы будут промежутки (-; -5) и (0; 1].

2) х(х -1)(х + 6) gt;= 0;

x(х + 5) lt; 0.

Знаки первого неравенства: (-) -6 (+) 0 (-) 1 (+). Нам нужен символ (+), так как gt;= 0. Решением неравенства - промежутки [-6; 0] U [1; +).

Знаки второго неравенства: (+) -5 (-) 0 (+). Нам нужен символ (-), так как lt; 0. Решением неравенства будет просвет (-5; 0).

Решением системы будет промежуток (-5; 0).

Ответ: (-; -5), (-5; 0) и (0; 1].