Обосновать, что при любом целом m число m(m+1)(2m+1) делится нацело на

m(m+1)(2m+1)
Чтобы число делилось на 6, необходимо чтобы оно делилось на 2 и на 3 сразу.
Заметим, что множители m(m + 1) при любом целом числе делятся на 2, так как если число m нечётно, тогда m + 1 будет чётным, если же число m чётное, то множители тоже делятся на 2 так как есть чётный множитель. 
Докажем, что число делится на 3.
1) Число m делится на 3. Тогда всё выражение кратно 3, ведь есть множитель кратный 3.
2) Число m при дробленьи на 3 даёт остаток 1. Тогда его можно представить в виде 3x + 1, где х - целое число. 3-ий множитель при таком m представим в виде 6x + 3, всегда кратно 3.
3) Число m при делении на 3 даёт остаток 2. Представим его в виде 3у + 2. 2-ая скобка будет одинакова 3у + 3, что всегда кратно 3.
В итоге при любом m число кратно 6.