Отыскать производную: y=ln X+ Х*sin 1/X

Найдём производную данной функции: y = ln x + x^2 * sin (1 / x).

Воспользовавшись формулами:

(x^n) = n * x^(n-1) (производная главный простой функции).

(sin x) = cos x (производная главной элементарной функции).

(1 / x) = (-1 / x^2) (производная главной элементарной функции).

(ln x) = 1 / х (производная главный элементарной функции).

(u + v) = u + v (главное верховодило дифференцирования).

(uv) = uv + uv (главное правило дифференцирования).

y = f(g(x)), y = fu(u) * gx(x), где u = g(x) (главное верховодило дифференцирования).

И так, найдем  поэтапно производную:

1) (ln x) = (1 / х);

2) (x^2) = 2 * x^(2 1) = 2 * x^1 = 2 * x = 2x;

3) (sin (1 / x)) = (1 / x) * (sin (1 / x)) = (-1 / x^2) * (cos (1 / x)) = (-cos (1 / x)) / x^2.

Таким образом, производная нашей функции будет последующая:

y = (ln x + x^2 * sin (1 / x)) = (ln x) + (x^2 * sin (1 / x)) = (ln x) + ((x^2) * sin (1 / x)) + (x^2 * (sin (1 / x)) = (1 / х) + 2x * sin (1 / x) + x^2 * (-cos (1 / x)) / x^2 = (1 / х) + 2x * sin (1 / x) - (cos (1 / x)).

Ответ: y = (1 / х) + 2x * sin (1 / x) - (cos (1 / x)).