При каких значениях a неравенство ax^2+4x+9aamp;lt;0 будет верным при всех значениях

ax^2 + 4x + 9a lt; 0.

Осмотрим функцию у = ax^2 + 4x + 9a, это квадратичная парабола. Чтоб неравенство было верным при всех значениях х, необходимо, чтобы парабола располагалась под осью х (у воспринимает значения lt; 0) и не имела точек касания с осью х.

Это вероятно при 2-ух критериях: а обязано быть меньше 0 (чтобы ветви параболы глядели вниз) и чтоб трехчлен ax^2 + 4x + 9a = 0 не имел ни 1-го корня.

ax^2 + 4x + 9a = 0.

Выразим дискриминант:

D = 4^2 - 4 * a * 9a = 16 - 36а^2 = 4(4 - 9а^2) = 4(2 - 3а)(2 + 3а).

Дискриминант обязан быть меньше нуля (тогда не будет корней).

4(2 - 3а)(2 + 3а) lt; 0.

Решим неравенство способом интервалов.

-4(3а - 2)(2 + 3а) lt; 0.

4(3а - 2)(2 + 3а) gt; 0.

Корешки неравенства:

3а - 2 = 0; 3а = 2; а = 2/3.

2 + 3а = 0; 3а = -2; а = -2/3.

Отмечаем на числовой прямой точки -2/3 и 2/3 выделяем дугами интервалы, расставляем знаки каждого промежутка, начиная в крайнего правого (+), а потом чередуя плюс и минус.

(+) -2/3 (-) 2/3 (+).

Так как символ неравенства gt; 0, то ответом будут интервалы, где стоит символ (+).

Решением неравенства будут промежутки (-; -2/3) и (2/3; +).

2-ой промежуток нам не подходит, так как а обязано быть отрицательным.

Ответ: а принадлежит интервалу (-; -2/3).