1. Знаменито, что а кратно 3, в кратно 2. Обоснуйте, что

1) Пусть а = 3к, в = 2с. Тогда 2а + 3с = 2 * 3к + 3 * 2с = 6к + 6с = 6 *(к + с). 

2-3) Пусть а = 7к + 5, в = 7с + 4, а * в = (7к + 5) * (7с + 4) = 7к * 7с + 7 * 5с + 7к * 4 + 4 * 5 = 7 * (7 * кс + 5с + 4к ) + 20.
Первое слагаемое делится на 7 , а 20 разделяем на 7, получим в остатке 6, так как 20 : 7 = 2 + 6(остаток). 

4) Последовательность 4-х чисел и их сумма одинакова: а + (а + 1) + (а + 2) + (а + 3) = 4а + 6. Из 2-ух слагаемых 4а делится на 4, а 6 не делится на 4, значит и вся сумма не делится на 4.

5) 321 + 322 + 323 = 966. На 13 делится число, если число 10-ов числа плюс 4 *(число единиц) делится на 13. 96 + 6 * 4 = 96 + 24 = 120 - не делится на 13. 

6) Число ав запишем 3 раза, получив шестизначное число. Доказать , что оно делится на 7.

Представим число, как 100000а + 10000в + 1000а +100в + 10а + в = а *(100000 + 1000 + 10) + в * (10000 + 100 +1) = а * 101010 + в *10101 = 10101 * (10а + в). А число 10101 делится на 7.Значит, и число (100000а + 10000в + 1000а + 100в + 10а + в) делится на 7.