. Даны точки А(4; 6; 3), В(5; 2; 5), С(0; 3;

а) Для определения угла меж векторами АВ и CD нужно отыскать координаты этих векторов. Чтоб найти координаты вектора AB, зная координаты его исходной точки А и окончательной точки В, нужно из координат окончательной точки отнять подходящие координаты начальной точки. То есть, если вектор AB данный координатами точек A (A_x; A_y; A_z) и B (B_x; B_y; B_z) можно отыскать, воспользовавшись следующей формулой

AB = (B_x - A_x; B_y - A_y; B_z - A_z).

Вычислим координаты вектора АВ:

AB = (B_x - A_x; B_y - A_y; B_z - A_z) = (-5 - 4; 2 - (-6); -5 - 3) = (-9; 8; -8).

Вычислим координаты вектора СD:

СD = (D_x - C_x; D_y - C_y; D_z - C_z) = (-6 - 0; -3 - (-3); 0 - (-4)) = (-6; 0; 4).

Угол меж векторами AB и CD находится по формуле:

cos  = (AB x CD) / (AB * CD).

Найдем скалярное творение векторов АВ x CD, используя формулу:

АВ x CD = АВ_x * CD_x + АВ_y * CD_y + АВ_z * CD_z = (-9) * (-6) + 8 * 0 + (-8) * 4 = 54 + 0 - 32 = 22.

Вычислим длины векторов AB и CD, используя формулу:

AB = (АВ_x^2 + АВ_y^2 + АВ_z^2).

AB = ((-9)^2 +8^2 + (-8)^2) = (81 + 64 + 64) = 209.

CD = (CD_x^2 + CD_y^2 + CD_z^2).

CD = ((-6)^2 + 0^2 + 4^2) = (36 + 0 + 16) = 52.

Вычислим угол между векторами AB и CD:

cos   = 22 / (209 * 52) = 22 / 10868 = 22 / 22717 = 11 / 2717 = (11 * 2717) / (2717 * 2717) = (11 * 2717) / 2717 = 2717 / 247.

б) для определения угла меж прямыми DА и СВ нужно выполнить такие же действия как в пункте а).

Вычислим координаты векторов DА и СВ:

DA = (A_x - D_x; A_y - D_y; A_z - D_z) = (4 - (-6); -6 - (-3); 3 - 0) = (10; -3; 3).

CB = (B_x - C_x; B_y - C_y; B_z - C_z) = (-5 - 0; 2 - (-3); -5 - (-4)) = (-5; 5; -1).

Найдем скалярное творенье векторов DА x CB:

DА x CB = DА_x * CB_x + DА_y * CB_y + DА_z * CB_z = 10 * (-5) + (-3) * 5 + 3 * (-1) = -50 - 15 - 3 = -68.

Вычислим длины векторов DA и CB:

DА = (DА_x^2 + DА_y^2 + DА_z^2) = (10^2 + (-3)^2 + 3^2) = (100 + 9 + 9) = 118.

CB = (CВ_x^2 + CВ_y^2 + CВ_z^2) = ((-5)^2 + 5^2 + (-1)^2) = (25 + 25 + 1) = 51.

Вычислим угол меж прямыми DA и CB:

cos   = (DA x CB) / (DA * CB) = -26 / (118 * 51) = -68 / 6018 = (-68 * 6018) / 6018 = -26018 / 177.

Ответ: угол между векторами AB и CD cos = 2717 / 247; угол между прямыми DA и CB cos =  -26018 / 177.