Сколько целых чисел содержит решение неравенства lg(x^2-15x)amp;lt;=2

lg(x^2 - 15x) lt;= 2.

1) Определим ОДЗ: x^2 - 15x gt; 0.

Рассмотрим функцию у = x^2 - 15x, это квадратичная парабола, ветки ввысь.

Найдем нули функции: у = 0; x^2 - 15x = 0.

х(х - 15) = 0;

х = 0 и х = 15.

Отмечаем на числовой прямой точки 0 и 15, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветки ввысь). Неравенство имеет символ gt; 0, означает решением неравенства будут промежутки, где парабола находится выше прямой, то есть (-; 0) и (15; +).

2) Представим число 2 как логарифм с основанием 10:

lg(x^2 - 15x) lt;= lg100.

Отсюда: x^2 - 15x lt;= 100; x^2 - 15x - 100 lt;= 0.

3) Рассмотрим функцию у = x^2 - 15x - 100, это квадратичная парабола, ветки ввысь.

Найдем нули функции: у = 0; x^2 - 15x - 100 = 0.

4) Решим квадратное уравнение с поддержкою дискриминанта:

a = 1; b = -15; c = -100;

D = b^2 - 4ac; D = (-15)^2 - 4 * 1 * (-100) = 225 + 400 = 625 (D = 25);

x = (-b D)/2a;

х₁ = (15 - 25)/2 = -5;

х₂ = (15 + 25)/2 = 40/2 = 20.

5) Отмечаем на числовой прямой точки -5 и 20, схематически живописуем параболу, проходящую через эти точки (ветки ввысь). Неравенство имеет знак lt;= 0, означает решением неравенства будет просвет, где парабола находится ниже прямой, то есть [-5; 20].

6) Соединяем решение неравенства и ОДЗ:

[-5; 20] и (-; 0) и (15; +).

Отмечаем на одной прямой оба решения неравенств, штрихуем нужные участки прямой. Там, где штриховка совпала, и будет решение системы неравенств: [-5; 0) и (15; 20].

Посчитаем количество целых чисел на интервалах: не интервале [-5; 0) 5 чисел, на интервале (15; 20] тоже 5 чисел.

Ответ: 10 целых чисел.