Обоснуйте, что при делении на 6 квадрата целого числа не может

Пусть n - целое число. Разделим его на 6:

n = 6 * k + r, где r - остаток от разделенья на 6: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Осмотрим все вероятные случаи:

1. r = 0.

n^2 = (6 * k)^2 = 36 * k^2 делится на 6.

2. r = 1.

n^2 = (6 * k + 1)^2 = 36 * k^2 + 12 * k + 1 

делится на 6 с остатком 1.

2. r = 2.

n^2 = (6 * k + 2)^2 = 36 * k^2 + 24 * k + 4

делится на 6 с остатком 4.

3. r = 3.

n^2 = (6 * k + 3)^2 = 36 * k^2 + 36 * k + 9

делится на 6 с остатком 3.

4. r = 4.

n^2 = (6 * k + 4)^2 = 36 * k^2 + 48 * k + 16

делится на 6 с остатком 4.

5. r = 5.

n^2 = (6 * k + 5)^2 = 36 * k^2 + 60 * k + 25

делится на 6 с остатком 1.

Итак, возможные остатки 0, 1, 3, 4. Остатки 2 и 5 невозможны.