Последовательность задана формулой a n=63/n+2.Сколько членов этой последовательности больше 3?

Покажем, что данная последовательность является убывающей.

Для этого докажем, что для любого целого положительного n выполняется неравенство а_n - a_n+1 gt; 0.

Согласно условию задачи, данная последовательность задается соотношением а_n = 63/(n+2), следовательно неравенство а_n - a_n+1 gt; 0 принимает следующий вид:

63/(n+2) - 63/(n +1+2) gt; 0.

Упрощая и приводя дроби в левой доли неравенства к общему знаменателю, получаем:

1/(n+2)  - 1/(n+3)  gt; 0;

(n+3)/((n+2)*(n+3))  - (n+2)/((n+2)*(n+3)) gt; 0;

(n+3 - n - 2)/((n+2)*(n+3)) gt; 0;

1/((n+2)*(n+3)) gt; 0.

Данное неравенство выполняется для всех  положительных n, как следует,   последовательность а_n является убывающей.

Найдем номер заключительного члена данной последовательности, большего чем 3.

Для этого решим неравенство:

63/(n+2) gt; 3;

n + 2 lt; 63 / 3;

n + 2 lt; 21;

n lt; 21 - 2;

n lt; 19.

Как следует, 18-й член а18 является заключительным членом данной последовательности, больший чем 3.

Так как данная последовательность убывающая, то все ее члены с первого по 18-й большие, чем 3.

Ответ: 18 членов этой последовательности больше 3.