Iх2+у2-4хl+х2+у2-4у=0 для всех точек(х;у),найдите меньшее значение выражения х-у

   Осмотрим два варианта для раскрытия модуля:

   1. x^2 + y^2 - 4х lt; 0;

• x^2 + y^2 - 4х lt; 0;
  -(x^2 + y^2 - 4х) + x^2 + y^2 - 4у = 0;
• x^2 + y^2 - 4х lt; 0;
  4х - 4у = 0;
• x^2 + y^2 - 4х lt; 0;
  х - у = 0.

   Для этого случая имеем: x - y = 0.

   2. x^2 + y^2 - 4х 0;

• x^2 + y^2 - 4х 0;
  (x^2 + y^2 - 4х) + x^2 + y^2 - 4у = 0;
• x^2 + y^2 - 4х 0;
  x^2 + y^2 - 2х - 2у = 0;
• 2x + 2y - 4х 0;
  x^2 + y^2 = 2х + 2у;
• 2y - 2х 0;
  x^2 + y^2 = 2х + 2у;
• y - х 0;
  x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = 2;
• x - y 0;
  (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2.

   Решением системы является половина окружности (http://bit.ly/2u4y4jy), находящаяся левее прямой y = x. Разыскиваем меньшее значение x - y = p, при котором система имеет решение:

• x - y = p;
  (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2;
• y = x - p;
  (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2.

   Явно, этого значения достигнем в том случае, когда прямая y = x - p будет дотрагиваться окружности в точке (0; 2):

• y = x + 2.
• p = -2.

   Ответ: -2.