Существует ли треугольник, у которого длины всех сторон и всех высот

Осмотрим равносторонний треугольник.

У равностороннего треугольника все стороны одинаковы, и все три высоты тоже.

Вышина равностороннего треугольника одинакова: h = (a * 3) / 2.

При целых значениях сторон, мы не получим целого значения вышины.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого две вышины одинаковы длинам катетов, а вышина из вершины одинакова: h = (a * b) / c, где а и b длина катетов, а с гипотенузы.

При целых значениях катетов и гипотенузы мы можем получить целое число вышины.

a = 15, b = 20, тогда по теореме Пифагора с = 25.

h = (15 * 20) / 25 = 12.

a = 60, b = 80, тогда по аксиоме Пифагора с = 100.

h = (60 * 80) / 100 = 40.

Ответ: Есть.