Найдите целую часть числа ((n) + (n+1))^2, где n-натуральное число.

Возведём выражение в квадрат:

[(n) + (n + 1)]^2 = [(n)]^2 + 2 * (n)  * (n+1) + [(n + 1)]^2 = n + 2 * (n)  * (n+1) + (n + 1) =

2 * n + 1 + 2 * (n)  * (n+1). (1)

Для нахождения целой части всего выражения, необходимо выделить целую часть из выражения с корнем. Для этого используем, неравенство по которому: n lt; (n) * (n+1)lt; n + 1,умножив на 2, получим:

2 * n lt; 2 * (n) * (n+1)lt; 2 * (n + 1).

Сообразно этому неравенству целая часть 2 * (n)  * (n+1) одинакова 2 * n, так как меньше 2 * n + 1.

Подставив приобретенное выражение в (1), получим целую часть:

2 * n + 1 + 2 * n = 4 * n + 1.