Обоснуйте что при любом значении n(целое) значение выражения 5n^3 + n

Преобразуем исходное выражение к последующему виду:

 5n + n - 15 = n * (5n + 1) - 15.

Осмотрим три вероятных случая:

1) Число n делится на 3 без остатка.

Тогда число n можно представить в виде n = 3k, где k  некое целое число.

Подставляя значение n = 3k в выражение n * (5n + 1) - 15, получаем:

n * (5n + 1) - 15 = 3k * (5(3k) + 1) - 15 = 3 * (k * (5(3k) + 1) - 1).

Из приобретенного представления следует, что выражение 5n + n делится на 3.

2) Число n делится на 3 с остатком 1.

Тогда число n можно представить в виде n = 3k + 1, где k  некоторое целое число.

Подставляя значение n = 3k + 1 в выражение n * (5n + 1) - 15, получаем:

n * (5n + 1) - 15 = (3k + 1) * (5(3k + 1) + 1) - 15 = (3k + 1) * (5 * (9k + 6k + 1) + 1) - 15 =  (3k + 1) * (45k + 30k + 5 + 1) - 15 =  (3k + 1) * (45k + 30k + 6) - 15 =3 *((3k + 1) * (15k + 10k + 2) - 5). 

Из приобретенного представления следует, что выражение 5n + n делится на 3.

3) Число n делится на 3 с остатком 2.

Тогда число n можно представить в виде n = 3k + 2, где k  некое целое число.

Подставляя значение n = 3k + 2 в выражение n * (5n + 1) - 15, получаем:

n * (5n + 1) - 15 = (3k + 2) * (5(3k + 2) + 1) - 15 = (3k + 1) * (5 * (9k + 12k + 4) + 1) - 15 =  (3k + 1) * (45k + 60k + 20 + 1) - 15 =  (3k + 1) * (45k + 60k + 21) - 15 =3 *((3k + 1) * (15k + 20k +7) - 5). 

Из приобретенного представления следует, что выражение 5n + n делится на 3.

Таким образом, выражение 5n + n делится на 3 при любом целом значении n.