Интеграл x^2*(2x^3+1)dx

Выпишем подынтегральное выражение:

x^2 * (2 * x^3 + 1) = 2 * х^5 + x^2.

Проинтегрируем каждый член раздельно 2 * х^5 и x^2.

Для 2 * х^5:

2 * х^5 dx = 2 x^5 dx.

Применим верховодило, что х^n = x^(n + 1) / (n + 1). Потому:

x^5 dx = х^(5+1)  / (5 + 1) = x^6 / 6.

В итоге:

2 * х^5 dx = 2 * (x^6 / 6) = x^6 / 3.

Для x^2:

x^2 dx = х^(2+1) / (2 + 1) = x^3 / 3.

В конечном итоге:

(x^2 * (2 * x^3 + 1)) dx = x^6 / 3 + x^3 / 3 + C = x^3 / 3 * (x^3 + 1) + C, где С - const.

Ответ: (x^2 * (2 * x^3 + 1)) dx = x^3 / 3 * (x^3 + 1) + C.