Найти значение производной функции y=x/sinx в точке х0=п/2

Решение:

Найдём производную функции: y = x / sin x.

Эту функцию можно записать так:

y = x * sin^-1 x.

Воспользовавшись формулами:

(sin x) = cos x (производная главный простой функции).

(xⁿ) = n* x^(n-1) (производная главной простой функции).

(с*u) = с*u, где с const (главное правило дифференцирования).

(uv) = uv + uv (главное верховодило дифференцирования).

Таким образом, производная нашей функции будет последующая:

y = (x * sin^-1 x) = (x) * (sin^-1 x) + x * (sin^-1 x) = sin^-1 x + (- x * sin^-2 x) * (cos x) = 1 / sin x (x * cos x) / sin² x).

Вычислим значение производной в точке х₀ = / 2.

Используя тригонометрическую таблицу, вычислим cos /2 и sin /2:

1) cos / 2 по тригонометрической таблице приравнивается 0;

2) sin / 2 по тригонометрической таблице равняется 1.

Таким образом:

y ( / 2) = 1 / sin / 2 ( / 2 * cos / 2) / sin² / 2) = 1 / 1 ( / 2 * 0) / 1² ) = 1 0 = 1.

Ответ: y = 1 / sin x (x * cos x) / sin² x), а y ( / 2) = 1.