Имеется 25 руб купюра. Можно ли ее разменять на 1 рублевые,

Пусть a - количество купюр по 1 руб., b - по 3 руб., c - по 5 руб.
Составим систему уравнений:
25 = a + 3 b + 5 c; (1)
a + b + c = 10; (2)
Выразим a через b и c:
a = 10 - b - c;

Подставим в (1)
25 = 10 - b - c + 3 b + 5 c;
15 = 2 b + 4 c; (3)
Справа получили четное число, а слева - 15 -нечетное, поэтому не существует целых положительных b и c, удовлетворяющих этому уравнению (3), и решить эту систему в целых положительных числах нельзя.