Последовательность (an) задана формулой an=85/n+1.Сколько членов этой последовательности больше 8

Покажем, что данная последовательность является убывающей.

Для этого убедимся в справедливости неравенства а_n+1 lt;  a_n для всех целых положительных n.

Поскольку данная последовательность задана формулой an=85/(n + 1), данное неравенство имеет последующий вид:

85/(n + 1 + 1) lt; 85/(n + 1),

либо 

85/(n + 2) lt; 85/(n + 1),

Так как, n + 2 gt; 0 и n +1  gt; 0, можем помножить обе доли неравенства на выражение (n + 2) * (n + 1):

(n + 2) * (n + 1) * 85/(n + 2) lt; (n + 2) * (n + 1) * 85/(n + 1);

(n + 1) * 85 lt; (n + 2) * 85;

n * 85 + 1 * 85 lt; n * 85 + 2 * 85;

n * 85 + 85 lt; n * 85 + 170;

n * 85 + 85 - n * 85 lt; 170;

85 lt; 170.

Мы получили верное неравенство, как следует, начальное неравенство производится при любом положительном n.

Как следует, данная последовательность является убывающей.

Найдем последний член данной последовательности, больший чем 8.

Для этого решим в целых числах неравенство:

a_n gt; 8.

85/(n + 1) gt; 8;

85 gt; 8 * (n + 1);

85 gt; 8n + 8;

8n lt; 85 - 8;

8n lt; 77;

n lt; 77/8;

n lt; 9 5/8.

Наибольшее целое значение n, удовлетворяющее данном неравенству это n = 9.

Как следует, есть 9 членов данной последовательности, великих, чем 8.

Ответ: есть 9 членов данной последовательности, великих, чем 8.