При каких значениях a и b многочлен P(x)=2x+ax-8x+b делится без остатка

Для того, чтобы производилось деление без остатка многочлена на многочлен их корни обязаны быть одинаковыми.

Найдем корни квадратного трехчлена, приравняв его к нулю.

 x^2 - 6x + 5 = 0;

D = b^2 - 4ac = 36 - 20 = 16;

x1 = (6 + 4)/2 = 5;

x2 = (6 - 4)/2 = 1.

Подставляем в 1-ый многочлен х = 5 и х = 1 и составим систему уравнений:

2x^3 + ax^2 - 8x + b = 0;

2 * 5^3 + a5^2 - 8 * 5 + b = 0;

250 + 25a - 40 + b = 0;

25a + b = - 210.

2 * 1^3 + a1^2 - 8 * 1 + b = 0;

2 + a - 8 + b = 0;

a + b = 6;

Система уравнений:

25а + b = - 210;

a + b = 6.

Решаем систему:

25a - a = - 210 - 6;

24a = - 216;

a = - 9;

b = 6 - a = 6 + 9 = 15.

Ответ: a =-9; b = 15.