В школе организовали n (namp;gt;1) кружков. Оказалось, что для всех двух

Пронумеруем кружки и сравним каждому воспитаннику n - значное двоичное число, где в каждом разряде "0", если воспитанник не ходит в этот кружок и "1", если ходит. Так как, для всех двух воспитанников есть кружок, в который ходит ровно один из их, то у различных учеников будут различные коды.
Дальше разобьем коды на пары, где коды в каждой из пар не совпадают ни в одном разряде. Так как по условию у всех 3-х, сопоставленных воспитанникам кодов, обязан быть разряд, в котором все три совпадают, из каждой пары может быть применено не более одного кода. Потому количество школьников не больше половины числа n-значных двоичных кодов, то есть не больше 2^(n-1);
Докажем, то школьников будет ровно 2^(n-1). Приведем пример:
Запишем все коды, начинающиеся с "1", тогда все прогуливаются в первый кружок. Таких кодов 2^(n - 1), так как 1-ый член фиксирован, а каждый последующий выражается 2-мя способами "0" либо "1".