число 7^2п+1 + 4^2п+1 делится на 11

   Докажем утверждение с помощью сопоставлений.

   1. Составим сопоставленья по модулю 11 для ступеней 7:

• 7^1 7 (mod 11);
• 7^2 49 (mod 11);
• 7^2 4 * 11 + 5 (mod 11);
• 7^2 5 (mod 11);
• 7^(2n) 5^n (mod 11);
• 7^(2n + 1) 7 * 5^n (mod 11). (1)

   2. Составим сопоставленья по модулю 11 для ступеней 4:

• 4^1 4 (mod 11);
• 4^2 16 (mod 11);
• 4^2 11 + 5 (mod 11);
• 4^2 5 (mod 11);
• 4^(2n + 1) 4 * 5^n (mod 11). (2)

   3. Сложим сопоставления (1) и (2):

• 7^(2n + 1) + 4^(2n + 1) 7 * 5^n + 4 * 5^n (mod 11);
• 7^(2n + 1) + 4^(2n + 1) 5^n * (7 + 4) (mod 11);
• 7^(2n + 1) + 4^(2n + 1) 11 * 5^n (mod 11);
• 7^(2n + 1) + 4^(2n + 1) 0 (mod 11). (3)

   Сопоставление (3) означает, что левая часть делится без остатков на 11, что и требовалось обосновать.