Y=x^3-12x^2+3x Изучить функцию и выстроить график (периодичность, точки перегиба, критич. точки,

1) Область определения и область значений.

D(f) = R, х любое число.

E(f) = R, у хоть какое число.

2) Нули функции. Найдем точки скрещения графика с осью х.

у = 0.

y = x³ - 12x + 3x

x³ - 12x + 3x = 0;

х(х - 12х + 3) = 0.

х = 0.

Или х - 12х + 3 = 0.

D = 144 12 = 132 (D = 132 = 233)/

x₁ = (12 233)/2 = 6 - 33 ( 0,3).

x₂ = 6 + 33 ( 11,7).

График функции пересекает ось х в точках 0, 6 - 33 и 6 + 33.

Найдем точку скрещения с осью у.

х = 0.

у = x³ - 12x + 3x = 0³ 12 * 0 + 3 * 0 = 0.

График пересекает ось у в точке 0.

3) Определим четность функции.

f(x) = x³ - 12x + 3x.

f(- x) = (-x)³ 12 * (-x) + 3 * (-x) = -x³ - 12x - 3x = -( x³ + 12x + 3x).

f(x) не одинаково f(-x) и f(x) не одинаково -f(-x), означает функция не четная, не нечетная.

4) Определим промежутки знакопостоянства.

График функции пересекает ось х в точках 0, 6 - 33 и 6 + 33.

(-; 0) пусть х = -1; у = (-1)³ 12 * (-1) + 3 * (-1) = -1 12 3 = -16 (-).

(0; 6 - 33) пусть х = 0,1; у = (0,1)³ 12 * (0,1) + 3 * (0,1) = 0,001 0,12 + 0,3 = 0,1801 (+).

(6 - 33; 6 + 33) пусть х = 1; у = 1³ 12 * 1 + 3 * 1 = 1 12 + 3 = -8  (-).

(6 + 33; +) пусть х = 12; у = 12³ 12 * 12 + 3 * 12 = 36 (+).

у gt; 0 на интервалах (0; 6 - 33) и (6 + 33; +).

у lt; 0 на интервалах (-; 0) и (6 - 33; 6 + 33).

5) Промежутки возрастания и убывания функции.

Найдем производную функции.

f(x) = x³ - 12x + 3x.

f(x) = 3х - 24х + 3.

Приравняем производную к нулю.

f(x) = 0;

3х - 24х + 3 = 0 (кв. парабола, ветки вверх);

D = 576 36 = 540 (D = 540 = 615).

x₁ = (24 615)/6 = 4 - 15 ( 0,2).

x₂ = 4 + 15 ( 7,8).

Определяем знаки производной на каждом интервале:

(-; 4 - 15) производная (+), функция подрастает.

(4 - 15; 4 + 15) производная (-), функция убывает.

(4 + 15; +) производная (+), функция возрастает.

Означает, точка (4 + 15) - это точка минимума, а (4 - 15) - это точка максимума.

Найдем экстремумы функции:

у = x³ - 12x + 3x.

х_min = 4 + 15; у_min = (4 + 15)³ 12 * (4 + 15) + 3 * (4 + 15) = -116 3015.

х_max = (4 - 15); у_max = (4 - 15)³ 12 * (4 - 15) + 3 * (4 - 15) = -116 + 3015.