log0,5(6x -3)log0,5(4-x^2)

log_0,5(6x - 3) log_0,5(4 - x^2).

1) Осмотрим ОДЗ (область возможных значений):

0,5 не одинаково 1 (верно).

6x - 3 gt; 0;

6x gt; 3;

x gt; 1/2;

x gt; 1/2 и x lt; -1/2.

4 - x^2 gt; 0;

x^2 - 4 lt; 0;

x^2 - 4 - это квадратичная парабола, ветви ввысь;

(x - 2)(x + 2) = 0, точки скрещения с осью х одинаковы 2 и -2;

знак неравенства lt; 0, означает х принадлежит интервалу (-2; 2).

2) log_0,5(6x - 3) log_0,5(4 - x^2). Так как основание логарифма lt; 1, то знак неравенства перевернется:

6x - 3 gt;= 4 - x^2;

x^2 + 6x - 7 gt;= 0.

Рассмотрим два варианта: х gt; 0 и x lt; 0.

3) х gt; 0, раскрываем модуль со знаком (+):

x^2 + 6x - 7 gt;= 0.

Подберем корешки квадратного уравнения с поддержкою теоремы Виета: х₁ + х₂ = -6; х₁ * х₂ = -7.

Корни равны (-7) и 1. 

Отмечаем на числовой прямой точки -7 и 1, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветки ввысь). Неравенство имеет символ gt;= 0, означает решением неравенства будут промежутки, где парабола находится выше прямой, то есть (-; -7] и [1; +).

Просвет (-; -7] не подходит (так как х gt; 0). Решение неравенства [1; +).

4) x lt; 0, раскрываем модуль со знаком (-):

x^2 - 6x - 7 gt;= 0.

Подберем корешки квадратного уравнения с помощью аксиомы Виета: х₁ + х₂ = 6; х₁ * х₂ = -7.

Корешки одинаковы (-1) и 7. 

Отмечаем на числовой прямой точки -1 и 7, схематически живописуем параболу, проходящую через эти точки (ветки вверх). Неравенство имеет символ gt;= 0, означает решением неравенства будут промежутки, где парабола находится выше прямой, то есть (-; -1] и [7; +).

Просвет [7; +) не подходит (так как х lt; 0). Решение неравенства (-; -1].

5) Объединяем решение неравенств и ОДЗ.

[1; +) и  (-; -1].

ОДЗ: x gt; 1/2 и x lt; -1/2; (-2; 2).

Решение всего неравенства: (-2; -1] U [1; 2).