Решите уравнение: cos4x + 2sin4x = 1

cos4x + 2sin4x = 1.

Преобразуем выражение:

cos(2 *2x) + 2sin(2 * 2x) - 1 = 0.

Распишем выражение по формулам синуса и косинуча двойного угла, а единицу как сумму квадратов синуса и косинуса.

cos^2(2x) - sin^2(2x) + 4sin(2x)cos(2x) - (cos^2(2x) + sin^2(2x)) = 0;

cos^2(2x) - sin^2(2x) + 4sin(2x)cos(2x) - cos^2(2x) - sin^2(2x) = 0;

-2sin^2(2x) + 4sin(2x)cos(2x) = 0;

умножим на (-1):

2sin^2(2x) - 4sin(2x)cos(2x) = 0.

Поделим уравнение на cos^2(2x), ОДЗ: cos(2x) не равен 0, 2х не одинаково П/2 + Пn, х не одинаково П/4 + П/2n, n - целое число.

2tg^2(2x) - 4tg(2x) = 0;

выносим 2tg(2x) за скобку:

2tg(2x)(tg(2x) - 2) = 0.

Отсюда:

1) 2tg(2x) = 0; tg(2x) = 0; 2х = П + Пn, х = П/2 + П/2n, n - целое число.

2) tg(2x) - 2 = 0; tg(2x) = 2; 2х = arctg2 + Пn, х = 1/2 * arctg2 + П/2n, n - целое число.