Обоснуйте что при любом целом n значение выражения: (2n+1) квадрат-1

Нам нужно доказать, что при любом целом n значение выражения: (2n + 1)^2 - 1 кратно 8.

Давайте откроем скобки и приведем сходственные слагаемые в данном выражении.
Для этого будем использовать формулу сокращенного умножения квадрат суммы (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.

Раскрываем скобки и получаем:

(2n + 1)^2 - 1 = 4n^2 + 4n + 1 - 1 = 4n^2 + 4n = 4n(n + 1).

Проанализируем приобретенное выражение. Числа n и (n + 1) поочередные числа. Означает одно из их точно четное.

Значит выражение 4n(n + 1) делится на 4 * 2 = 8.

Что и требовалось доказать.