Найдите наибольшее и меньшее значения функции y=2x^3-9x^2-3 на отрезке [-1;4]

Нужно отыскать величайшее и меньшее значения функции

y = 2x^3 - 9x^2 - 3, на отрезке [- 1; 4].

Найдем точки экстремума функции

Поначалу нужно отыскать точки экстремума функции, т.е. такие точки, в которых производная функции одинакова нулю либо не существует.

Найдем производную функции

Для нахождения производной воспользуемся формулой:

(х^a) = ax^(a - 1).

Тогда:

y = (2x^3 - 9x^2 - 3) = 2 * 3х^2  9 * 2х = 6х^2  18х.

Точки экстремума:

у существует при всех значениях х.

y = 0:

6х^2  18х = 0,

6х (х 3) = 0,

х₁ = 0,

х₂ = 3.

Наибольшее и меньшее значение функции на отрезке достигается либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.

Вычислим значение функции в точках экстремума и на концах отрека:

При х = -1, y = 2 * (-1)^3  9 * (-1)^2  3 = -2 9 3 = -14.

При х = 0, y = 2 * 0^3  9 * 0^2  3 = -3.

При х = 3, y = 2 * 3^3  9 * 3^2  3 = 54 81 3 = -30.

При х = 4, y = 2 * 4^3  9 * 4^2  3 = 128 144 3 = -19.

Таким образом, y_наим = у(3) = -30, y_наиб = у(0) = -3.

Ответ: y_наим = -30, y_наиб = -3.